Angle = arccos(1/n)
In 1-dimension, the angle is arccos(1/1) = 180°
In 2-dimension, the angle is arccos(1/2) = 120°
In 3-dimension, the angle is arccos(1/3) = 109.47°
In n-dimension, the angle is arccos(1/n)
In ∞-dimension, the angle is arccos(1/∞) = 90°
- 365 ：１３２人目の素数さん：2015/06/22(月) 14:47:20.45 ID:O4GLybMb
- ２次元で正三角形の重心から各頂点とのなす角は６０度です
３次元で正三角錐の重心から各頂点とのなす角は１０９．５度です
４次元ではどうなるのでしょう？
また、一般にｎ次元ではどうなるでしょう？
- 366 ：１３２人目の素数さん：2015/06/22(月) 15:08:39.12 ID:O4GLybMb
- >>365
２次元のときは１２０度でしたｗ
調べたら arccos(-1/n) みたいな規則性がありそうなんですけど
あってます？
n=2 arccos(-1/2) = 120
n=3 arccos(-1/3) = 109.47
n=4 arccos(-1/4) = 104.48
n=5 arccos(-1/5) = 101.54
- 367 ：１３２人目の素数さん：2015/06/22(月) 15:34:13.72 ID:O4GLybMb
- ｎ→無限大で 三角形の角度は 90,45,45 の組み合わせに近づくみたいです
- 373 ：１３２人目の素数さん：2015/06/22(月) 19:35:47.39 ID:UrZHpbPo
- >>365
正三角形(二次元での最も単純な構造体を三次元内で表現)
A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3)→G(1,1,1)
(2,-1,-1),(-1,2,-1)→cos(θ)=(-2-2+1)/6=-3/6=-1/2
正三角錐(三次元での最も単純な構造体を四次元内で表現)
A(4,0,0,0),B(0,4,0,0),C(0,0,4,0),D(0,0,0,4)→G(1,1,1,1)
(3,-1,-1,-1),(-1,3,-1,-1)→cos(θ)=(-3-3+1+1)/12=-4/12=-1/3
A(5,0,0,0,0),B(0,5,0,0,0),C(0,0,5,0,0),D(0,0,0,5,0),E(0,0,0,0,5)→G(1,1,1,1,1)
(4,-1,-1,-1,-1),(-1,4,-1,-1,-1)→cos(θ)=(-4-4+1+1+1)/20=-5/20=-1/4
n次元での最も単純な構造体を(n+1)次元内で表現したものにおいて、
重心からの頂点への代表的なベクトル二つを表記すると
(n,-1,-1,-1,-1,...)及び(-1,n,-1,-1,-1,...)
→cos(θ)=(-n-n+1+1+1+1...+1)/(n^2+n)=(-2n+(n-1))/(n^2+n)=(-n-1)/(n^2+n)=-1/n
おわり
